- Exponentielles Wachstum Bakterien
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Exponentielles Wachstum Bakterien Übungen PDF mit Lösung
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PDF Lösungen – Mathematik
Gegeben sei eine Bakterienkultur, die mit einer Bakterienzahl von 1 Million Bakterien/ml beginnt. Wenn sich diese Kultur jede Minute vermehrt, in welcher Zeit wird die Kultur eine Bakterienzahl von 1 Milliarde Bakterien/ml erreichen?
Lösung:
Das Bakterienwachstum ist eine Exponentialfunktion. Wenn sich die Bakterienkultur jede Minute vermehrt, dann gilt:
N(t) = 1 Million * ekt
Wir suchen nach der Zeit t, in der die Bakterienzahl die 1 Milliarde erreicht hat. Dies entspricht dem Punkt, an dem die Funktion den Wert 1 Milliarde annimmt. Also gilt:
1 Milliarde = 1 Million * ekt
Um t herauszufinden, können wir logarithmieren:
log(1 Milliarde) = log(1 Million) + kt
Da die Logarithmusfunktion monoton wächst, gilt hier:
log(1 Milliarde) – log(1 Million) = kt
Durch Umstellen nach t erhalten wir:
t = (log(1 Milliarde) – log(1 Million)) / k
Wir müssen nun nur noch die Zahlen einsetzen:
t = (log(1000000000) – log(1000000)) / 0,3010
Das Ergebnis lautet also:
t = 4,76 Stunden
In 4,76 Stunden wird die Bakterienzahl die 1 Milliarde erreichen.
Aufgabe 2. :
Eine Bakterienkultur beginnt mit 1 Million Bakterien pro ml. Wenn sich die Bakterien alle 5 Minuten vermehren, in welcher Zeit wird die Bakterienzahl die 1 Milliarde erreichen?
Lösung:
Wir suchen also nach der Zeit t, in der die Bakterienzahl die 1 Milliarde erreicht hat. Also gilt:
1 Milliarde = 1 Million * ekt
Wir nehmen den Logarithmus beider Seiten:
log(1 Milliarde) = log(1 Million) + kt
Durch Umstellen nach t erhalten wir:
t = (log(1 Milliarde) – log(1 Million)) / k
Wir müssen nun nur noch die Zahlen einsetzen:
t = (log(1000000000) – log(1000000)) / 0,12
Das Ergebnis lautet also:
t = 41,81 Stunden
In 41,81 Stunden wird die Bakterienzahl die 1 Milliarde erreichen.
